Theme Series｜카오스 제어(84)
진동하는 MEMS에서의 비선형 동력학(Ⅲ)

배영철 전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)

이번 호에는 진동하는 MEMS에서의 비선형 동력학에 관한 내용으로서 Mann 등의 연구를 중심으로 수치 시뮬레이션과 실험 결과에 대한 연구 결과를 소개한다. 

B.P. Mann과 B.A.Owens의 연구[1]

여기에서는 직접적으로 전기적 부하를 동력으로 연결한 전자기-유도 에너지 발전기의 성능과 설계에 관해 설명한다. 발전기는 자기 반발력을 가진 외부 하우징을 기준으로 연결된 이동 자석을 포함한다[2-3]. 외부 전원이 소자의 하우징에 가속될 때 실험(proof) 질량은 발진을 시작하여 전자기 유도를 통하여 기계적 에너지를 전기적 에너지로 변환한다. 여기에서 설명하는 내용의 새로운 특징은 발전기의 쌍안정 퍼텐셜 우물 끝에서의 비선형 상호작용이다.
그림 1에 실험적 시스템의 개략도를 보여주고 있다. 이 소자는 시스템의 쌍안정을 만드는 위치를 가진 직렬 자석들로 연결되어 있다. 예를 들어 상부와 하부 자석들은 조정을 위해 그림 1a에서 보여주는 반-공간 d가 허용된 관속으로 삽입된 상부와 하부 캡에 기계적으로 부착된다.
중앙 자석은 이들 자석 사이에 놓여지며 양쪽의 외부 자석들에 반발하고, 이에 따라 튜브 내에 중앙 자석 발진을 유지한다[3,4]. 4개의 자석들은 튜브의 중앙점 부근에 대칭적으로 놓이게 된다. 즉 이들 자석의 목적은 중앙점으로부터 멀어진 중앙 자석을 밀어내며 쌍안정 관성 발전기를 만든다(그림1a, 그림1b).
그림 1c는 기계적 소산을 최소화하기 위해 사용된 적용을 보여준다. 특별히 장력을 가진 유도선은 2개의 PTFE(polytetrafluoroethylene) 삽입을 가진 조합에서 사용된다. 이들 삽입은 오직 중앙 자석으로부터 가장 먼 위치의 유도선(guide wire) 접촉을 위해 설계됐다. 즉 이것은 낮아지는 정규적인 힘이 주변 자석의 상호 작용 토크로부터의 결과에 의한 마찰 손실을 줄여준다. 그림 1d는 앞으로 설명하게 될 전기적 회로에 대한 개략도를 보여준다. 이 간단한 회로는 저항성 부하 RL에 따라 내부 저항 Ri와 코일 인덕턴스 L을 포함한다.




1. 에너지 발전기 모델
여기서는 비선형 발전기에 대한 이론적 모델을 유도한다. 여기서 유도된 수학적 모델은 전기적 부하에 전력을 수송하기 위해 연구하는 데 사용하게 된다. 

2. 비선형 발전기 모델
발진과 고정 자속 사이의 상호 작용을 설명하기 위해서 퍼텐셜 에너지와 힘 표현들이 쌍극자 모델로부터 유도되었다[5-8]. 여기에서는 2개의 상호 작용 자석 등에 대한 최초 소개 표현으로 미분 특징을 설명한 후 이들 표현을 다중 자속에 적용한다. rs에 위치한 자석으로 인한 rs 위치에서 자속 밀도 또는 B 자계는 식(1)과 같이 정의된다.

        
여기서 는 자유 공간의 유전율, ▽는 벡터 구배(gradient), rp/s=rp-rs는 소스 자석의 위치에 대응하는 관심 점에서의 벡터, ｜rs/p｜는 두 자석 사이의 거리이다.
rs에 위치하는 소스 자석의 자기 모멘트는 ms=Msνs에 의해 주어지며 여기서 Ms와 νs는 각각 자화와 소스 자석의 체적을 나타낸다. 자석 rs에 의해서 생성된 자계의 rp에서 자석의 퍼텐셜 에너지는 식(2)와 같이 표현된다.

여기서 mp는 rp에 위치한 자석의 자기 모멘트이다. 자석 사이의 상호 작용 힘에 대한 표현은 식(2)와 같은 구배를 취함에 의해 얻어질 수 있다.
다른 6개의 자석들을 가진 상호작용으로 인하여 중심 자석의 퍼텐셜 에너지는 식(1)과 식(2)를 이용하여 얻어질 수 있다. 이러한 목적을 위해 중심 자석의 체적을 정의하기 위하여 파라미터 vc, vc, vt 즉, 이들은 외부에 있는 4개의 자석들과 동일한 상부와 하부 자석들을 소해하고 이들 자석에 대응하는 진폭은 Mc, Mo, Mt에 의해 정의된다. 여기서 하첨자는 자석 체적에 인가된 것과 관계된다.
상부와 하부 자석 사이의 반-간격으로서 d(그림 1a)를 소개함으로서 퍼텐셜 에너지에 대한 표현은 식(3)과 같이 표현한다.

여기서 y=z-x는 소자의 외부 하우징에 대응하는 중심 자석의 상대 위치, 외부 링-자석의 수는 N=4이다. 이들 자석은 중심축으로부터 거리 R0와 소자의 하부 중간으로부터 상부로 분리한 대칭 평면 위에 위치된다. 복원력들에 대한 표현은 y에 대응하는 퍼텐셜 에너지의 미분으로부터 얻어진다. 완전성을 위해서 식(4)와 같이 정리한다.

그림 1에서 보여주던 것과 같은 직접적으로 저항성 부하에 전력을 공급하는 에너지 발전기를 위한 지배 방정식은 식(5)과 같이 주어진다.

여기서 ·은 시간에 대응하는 미분, m은 중심 자석의 질량, c는 기계적 소산을 기술하기 위해 사용한 상수, z는 기저 가속, I는 전류, L은 코일 인덕턴스, γ는 트랜듀서 상수로서 기계적, 전기적 시스템의 결합인 패러데이 유도 법칙으로 유도할 수 있다
식(3)~5(b)는 자기 특성을 가지고 있다고 추정하여 사용되며, d=106mm일 때 그림 2의 분기도와 퍼텐셜 에너지를 생성하기 위하여 사용된 데이터 값을 표 1에 나타내었다.
다음과 같은 논의를 쉽게 하기 위하여 식(5a)와 (5b)는 식(6)과 같이 정리된다.




우리는 시스템의 주파수 응답을 가지고 있기 때문에 이것은 이론적 소자에 대하여 자연 주파수를 아는 것이 유용하다.



자연 주파수를 결정하기 위하여 평형점 ye=41.1mm에서 Fm(y)의 구배 평가에 의해 k=36.9N/m의 선형 강체를 유도했다. 다음에 이것은 질량에 의해 나누어지며  32.17rad/s 또는 5.12Hz의 선형 자연 주파수를 얻기 위해 표 2가 주어졌다.

이론적 연구

여기서는 비선형 하비스터의 응답 거동과 전기적 부하로의 수송된 전력을 설명한다. 발전기가 부하저항으로 직접 전력을 수송하기 때문에 전기적 부하에 수송된 순시 전력은 식(7)과 같이 주어진다.

이 설명들은 식(8)과 같은 단일 주파수 여기를 고려한다.

여기서 A는 가속 진폭, θ(t)=Ω(t)는 하비스터의 응답을 조사하기 위한 rad/s에서 여기 주파수이다.
식(8)을 이용해 상수 A를 가지고 기저 여기에 대한 결과를 알아보고 여기 주파수 허용이 천천히 증가 또는 감소하는 것을 알아본다. 이후 Ω값을 일정하게 유지 한 후 A값을 천천히 변하는 동안의 결과를 알아본다.

주파수 응답

상대적으로 큰 에너지양을 추출할 수 있는 주파수 범위의 확대는 에너지 하비스팅에서 고려할만한 관심이다. 이 목적을 달성하기 위한 하비스터 성능 속으로의 통찰을 준비하기 위하여 선형적으로 증가와 감소하는 여기 주파수에 대해 식(6)을 이용하여 수치 시뮬레이션을 수행했다. 그러나 하비스터의 성능과 응답을 논의하기 이전에 먼저 어떻게 모델 파라미터들이 수치적 연구들에 대하여 선택됐는지와 실험 시스템에서 이 파라미터들을 사용하는지에 대해 설명한다.
에나멜로 코팅된 자석선 n=2000 회선의 실린더형 코일이 실험 연구를 위해서 다음과 같이 사용됐다. 코일 차원들은 내부 반경과 높이가 각각 ri=15.9mm, lc=50.8mm이다. 만약 코일이 긴 솔레노이드로서 근사화된다면 인덕턴스  될 것으로 추정된다[7]. 이 값은 수치 연구를 위해 사용한 인덕턴스 값인 L=76×10-³H와 실험적으로 측정한 값이 거의 일치한다. 시뮬레이션 연구들은 RL=1217Ω이 사용되었으며 Ri와 γ에 대한 수치적으로 측정된 값들은 실험 시스템의 측정된 질량과 추정된 제동은 표2에 정리하여 놓았다. 덧붙여 자기 복원력을 기술한 이 항들은 다음과 같은 것을 요구한다. 즉 표 1의 자기 특성들은 자기력을 결정하기 위하여 d=106mm, R0=38mm의 조합을 가지고 사용했다.
그림 3~5의 그래프는 기저 여기의 다른 레벨에 대하여 예측된 주파수 응답의 배열을 보여준다. 보다 특별하게 그림 3의 전방향(또는 선형적으로 증가하는) 주파수 모습 결과는 자석 배치에 대한 시계열과 이들에 대응하는 스트로브스코프 점들에 따른 회로 전류를 보여준다. 즉 [θ(t)/2π](여기서 θ(t)=(Ω0+~½Ωrt))에서 샘플드된 각 시계열들은 소거율 Ωr, 시작 주파수 Ω0, 그리고 시간의 함수이다. 시계열이 주어진 주파수에서 각 상태의 진폭을 보여주는 동안 이들 상태들의 스트로로스코픽 샘플들은 여기 주파수에 대응한 이들 응답의 주기성을 보여준다. 즉 그림 3a와 3b에서 주기 응답 또는 그림 3e와 3f에 대한 주파수 범위의 중간에서 카오스 응답을 본다.
그림 3의 전방향 모습 사례들은 그림 4의 역방향 모습(또는 선형적으로 감소하는)과 비교할 수 있다. 예를 들어 작은 여자 레벨에 대하여 하비스터는 선형 자연 주파수 부근의 공진 피크를 가진 전방향과 역방향 주파수에 대하여 동일하게 응답한다. 반면 여기의 보다 큰 레벨에서의 응답들은 최대 응답의 확대, 주파수 응답에서의 히스테리시스, 다중 어트렉터의 출현(공존 해), 카오스 어트렉터들을 나타낸다. 더욱이 여기의 가장 큰 레벨은 주파수 응답에서 중요한 확대를 또한 나타낸다.




시스템의 주파수 응답들은 전기적 부하로 수송한 전력의 주파수 의존성을 확정하기 위하여 사용될 수 있다. 특별히 그림5에서의 그래프는 앞선 그림 3과 4에서 연구된 주파수 범위를 넘어선 전력을 제공한다. 기저 여기의 기장 낮은 레벨에 대하여 전력 그래프는 시스템의 자연 주파수 부근의 더 좁은 최대를 보여준다. 응답의 이러한 형태는 고전적인 선형 거동의 연상이며 기저 여기의 증가된 레벨에 대한 응답을 더 이상 지배하지 않는다. 대신에 주파수 응답은 기저 여기의 더 높은 레벨에 대하여 확장된 것으로 시작한다.

기저 여기 모습

여기서는 기저 여기의 다른 레벨에 대한 응답에서 하비스터의 변화를 연구하기 위하여 수행된 연구를 설명한다. 보다 특별하게 여기 주파수를 일정하게 유지하고 기저 가속 A를 선형적으로 변화시켰을 때의 몇몇 경우에 대한 수치적 연구들을 설명한다. 대표적인 결과의 연속으로서 앞에서 설명한 것과 동일한 모델을 가지고 얻어진 결과를 그림 6~8에 나타내었다. 앞에서 설명한 것으로서 자석 배치의 스트로보스코픽 샘플과 전류 시계열은 대응하는 시계열 상에 중첩하여 사용했지만 여기 주파수가 일정하기 때문에 여기 주기 T=2π/Ω에서 시계열들은 샘플드 되었다.





그림 6의 전방향 진폭 모습은 흥미 있는 결과들의 연속을 제공한다. 거의 기저 여기의 상대적으로 작은 레벨들에 대한 선형적인 거동이 발생하는 동안 여기 레벨이 증가함으로서 높은 비선형적인 거동이 관측된다.
예를 들어 그림 6(a), 6(b)에서 보여준 것을 생각하자. 하비스터의 응답은 단일 포텐셜 우물에 속박되어 남아있는 발진들을 가지고 초기에는 주기적이다. 여기 진폭을 더욱 증가시키면 퍼텐셜 우물은 주기성을 벗어나 카오스 응답으로 트리거된다. 그러나 카오스 응답은 지속되지 않으며 대신에 시스템 응답은 여기의 가장 높은 레벨에서 주기 운동으로 되돌아온다. 복잡한 분기들의 유사한 형태들이 나머지 그래프들에서 설명하는 동안 저자들은 독자들이 특정한 관측에 집중하길 원한다. 특별히 시스템의 에너지 레벨은 퍼텐셜 우물 탈출 이후에 더 높은 레벨로 점프한다[9]. 이것은 탈출 이후에 즉각적으로 발생하는 전류와 자석 배치 모두에서의 점프로부터 발생하고 있음이 명백하다.
그림 6의 전방향 모습 거동은 그림 7의 역방향 진폭 모습 응답과 직접적으로 대조할 수 있다.
예를 들어 전방향 모습은 주기적, 서브하모닉, 카오스 응답들을 나타내지만, 역방향 모습 동안에는 오직 주기 운동만이 발생한다. 더 큰 에너지를 가지는 관심 있는 다른 비교는 잘 혼합된 거동의 영역 즉, 발진이 양쪽 퍼텐셜 우물들로 횡단하는 영역들에서 찾아진다[10-13]. 이것 중 가장 좋은 사례의 하나는 양쪽 그림에서 (e)와 (f)이다. 특별히 자석 발진들은 4m/s²의 전방향 모습에서 단일 퍼텐셜 우물에 아직까지 속박돼 있지만 역방향 모습에서 우물 혼합 거동은 4m/s²에서 발생한다. 전류 진폭이 역방향 모습에 대하여 높으므로 전기적 부하에 수송된 전력은 이것만큼 높다.
그림 8은 이전의 2개의 그림에서 연구된 사례의 전력 결과를 보여준다. 이들 그림은 상대적으로 큰 전력이 기저 여기의 낮은 레벨에서 발생할 수 있음과 더 높은 에너지 어트렉터 또는 응답이 얻어짐을 설명한다. 덧붙여 이것은 전력이 기저 여기의 더 높은 레벨에 대하여 적절하게 증가하지 않음은 흥미 있는 일이다.
 
실험적 연구

그림 9는 흔들기 테이블(shaker table)에 부착하여 제작한 발전기의 그림을 보여주고 있다. 이 발전기는 중력의 영향을 피하기 위해 수평 배향을 유지하고 있다. 그림 1에서 보던 것과 같이 발전기의 코일은 저항성 부하에 직접 전력을 공급하도록 배선되어 있다. 저항성 부하는 RL=150Ω이며 저항성 부하에 걸친 전압 강하는 데이터 취득 시스템을 가지고 측정된다. 고조파 기반 여기는 공기 베어링 흔들기 테이블에서 관성 발전기의 실장에 의해 인가된다. 흔들기로부터 자장 간섭의 가능성을 줄이기 위해 부착 지지가 흔들기 기반으로부터 떨어진 에너지 하비스터의 거리에 대하여 설계되었다. 실험적 시험 동안 기저 가속이 흔들기 테이블에서의 가속기 실장에 의해 측정됐다.

실험 시도

여기서는 이론적 예측을 가지고 실험적 거동을 비교하기 위해 수행한 실험적 시험을 설명한다. 실험적 시험은 다음과 같은 성능으로 크게 분리할 수 있다. (1)모든 다른 실험 변수들을 일정하게 유지하는 동안 주파수 모습 또는 여기 주파수에서의 변화, (2)여기 진폭 모습, 여기서 여자 진폭이 유지되고 모든 다른 변수들이 일정할 동안 여자 진폭은 변화된다. 실험적 시험의 최초의 시리즈는 그림 10에 나타내었다.
이 그림은 3개의 전방향(선형 증가)과 역방향(선형적으로 감소) 주파수 모습 시험을 비교한다. 상대적으로 낮은 여기 레벨에서 그림 3b, 4b의 이론적 결과에서 보여준 것과 같이 시스템의 주파수 응답은 선형 시스템의 응답과 유사한 것처럼 보인다. 즉 전방향 또는 역방향 응답에서 히스테리시스가 없고 각 여기 주파수에서 오직 단일 주기적 어트렉터만 존재한다. 그러나 그림 10e, 10f의 결과는 여기 진폭에서의 결과는 다중 주기적 어트렉터들과 주파수 응답에서의 히스테리시스를 보여준다.





다른 증가하는 관측은 전방향과 역방향 모습 모두는 6Hz 부근에서 카오스 거동을 나타낸다. 이론적 조사로부터 예상한 것으로서 실험적 주파수 응답은 여기의 상대적으로 높은 레벨에서 확장된다. 아마도 이것은 전방향과 역방향 모습 동안 수송된 전력과 중첩되는 그림 11의 출력 그림으로부터 가장 명백하다.
실험적 시험의 또 다른 배열은 그림 12에 나타내었다. 이 그림은 2개의 진폭 모습 또는 사례를 보여주며 여기서 여기 주파수는 일정하게 유지하지만 기저 가속의 진폭은 선형적으로 증가시켰다. 각 진폭 모습 이하는 저항성 부하에 수송된 전력의 그림이다. 이들 그래프는  잘 혼합된 거동이 실험실과 카오스 응답에서 관측되며 그림에서 보여주는 영역에서 전력은 날카로운 증가를 보여주고 있다.

 
참고문헌