[카오스 제어-90] 기계공학에서의비선형특성(Ⅳ)
건식마찰시스템에서의발진(3)

배영철 전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)


이번 글에서는 건식 마찰 시스템에서의 발진에 관한 내용 3 번째로서 마찰이 유도하는 요동을 중심으로 살펴본다. 요동에 대해서 이야기할 때 요동은 강성 행렬의 비대칭에 의해 수학 적으로 2 이상의 자유도를 가진 시스템에서 동적 불안정성을 의미한다. 전부는 아니지만 에너지 자원의 이 비대칭성은 다 른 물리적 근원을 가질 수 있다.

고전적인 요동[1]

요동의 자연을 결정하기 위해 그림 1에서 보여주는 것과 같 이 탄성적으로 지지된 평판의 발진을 고려하자.
그림 2와 같이 발산에 관해 이야기 할 때 사용한 기구와 달 리 그림 1의 평판은 2개의 자유도를 가지며 위치는 회전각 Ø 와 평판 중간 점의 수직 변위 y인 2개의 좌표에 의해 주어진 다. 여기서 수평 변위는 불가능한 것으로 가정한다.

2개의 좌표Ø, y들은 식(1)과 같이 시간의 함수로 나타낸다.

Ø=Ø(t), y=y(t)                                           (1)

여기에서 문제는 이 함수들의 형태를 찾은 다음 요동의 가 능성을 결정하는 것이다. 2개의 스프링 c₁, c₂들은 다른 강성 을 가지는 것으로 가정한다. 평판의 질량은 전체 표면에 대하 여 균일하게 분산된다고 가정하고m을 평판 중간 면의 단위 면적당 질량과 동일하다고 놓는다.
평판이 이동함으로써 탄성 지지의 반응에 의한 것뿐만 아니라 평판의 우변 가장자리로부터의 거리에서, 이것은 식(2)의 들려 올려지는 힘으로 동작하게 되며

이는 식(3), (4)와 같이 평판 가장자리의 변위에 비례하게 된다.

평면의 중력 중심에서 이들 반응을 기준하는 것은 식(5)와 같은 힘과 식(6)과 같은 모멘트를 얻는다.

이제 평판의 운동 방정식을 설정하자. 이들 중 하나는 평판의 중력 중심의 변위를 제공하며 이는 식(7)과 같이 정리된다.

여기서 mbl은 전체 평판의 질량이며 한편 다른 값들은 중력 중심을 통하여 수평축 z에 대하여 평판의 회전으로 식(8)과 같이 주어진다.

Y, R, M에 대하여 식(2), (5), (6)을 식(8)에 대입하면 식(9)와 식(10)과 같은 미분방정식을 얻는다.


먼저 평판의 발산을 가지기 위한 가능한 조건에 대하여 찾아보자.
이를 위해서Ø와 y가 일정한 값을 가진다고 가정한다. 이들의 2차 미분은 0이 되며 식(9), (10)은 식(12), (13)과 같은 형태가 된다.

식(12), (13)의 0이 아닌 해에 대한 조건은 식(14)와 같이 표현된다.

계수를 위하여 식(14)를 식(11)에 대입하면 식(15)와 같은 임계 발산 속도를 얻는다.

만약 우변의 지지가 무한적인 강체라면 이 공식은 식(16)으로 간략화 된다.

에 대하여 발산은 불가능하게 된다. c₂의 더 큰 값에 대하여 임계속도는 식(16)에 의해 주어진 값보다 크다는 것이 판정되었다. 이에 따라 우변 지지의 강성을 줄임에 의해 발산으로부터의 위험성을 줄일 수 있는 경향이 있다.
이제 평판에서 가능성이 있는 운동을 설명하고 식(9)와 식 (10)의 미분 방정식 동차 시스템의 해 식(17)과 같은 형태로 구해보자

2개의 좌표는 동일한 법칙에 따라 구한다고 가정하고 이는 다른 하나에 언제든지 비례한다고 가정하자.
-w의 값과 w의 값에 의해 모두 다 만족하는w² 의 표현을 구해보자. y좌표의 해는 식(18)과 같이 구해지며 Ø에 대해서도 유사한 구조로 구해진다.

만약A₁,A₂를 식(19)와 같은 형태로 놓고 대입하면 새로운 상수가 식(19)와 같은 구조로 구해진다.

식(18)은 식(20)과 같이 쓰일 수 있다.

여기에서 우리는 3개의 가능성을 고려한다.
① w가 실수 일 경우, 식(20)은 그림 3과 같은 고조파 운동을 나타내며 이 경우에 시스템의 평형 상태는 명백하게
안정한다.

②w가 허수일 경우, 예를 들어 식(18) 대신에 식(21)을 얻는다.

이 해는 그림 4와 같이 편향 y에서 무제한적이고 단조 증가에 대한 증거를 제공한다. 이 경우 시스템의 평형 상태는 불안정한 것으로 취급해야 한다.

③w가 복소수로 판정될 경우, 예를 들면 w=α+jβ이면 식(20) 대신에 식(22)가 구해진다.

e^—bt, e^bt의 값을 구해보자. β가 양수 또는 음수와 관계없이 항의 하나는 제한 없이 증가하게 될 것이고 e^jat, e^—jat의 항으로 인하여 이 운동은 자연적으로 발진하게 되겠지만, 그림 5와 같이 제한 없이 진폭을 가지고 증가하게 될 것이다. 이상의 설명에서 시스템이 안정하기 위해서는 w가 실수이어야 한다. 이것은w² 이 실수와 양수 모두이어야 한다는 것을 의미한다.
식(9)와 식(10)의 시스템으로 돌아가서 이를 식(17)에 대입하면 식(23), (24)를 얻는다.

이 시스템의 행렬식은 식(25)와 같이 표현되는 0이 된다.

식(25)는 식(26)과 같이 정리된다.

식(26)에서w² 을 구하면 식(27)과 같이 된다.

w² 에 대한 조건은 식(28)과 같이 실수의 값을 취해야 한다.

한편, 양수가 되기 위한w² 의 조건은 식(29)와 같다.

따라서 안정하기 위한 기계적 시스템의 a₁₁a₁₂-a₁₂a₂₁차는 0의 범위인 [(a₁₁+a₂₂)2]² 으로 떨어져야 한다. 이것은
임계 상태들이 식(30) 범위의 경계 조건에 온다는 것이 명백하다.

우리는 이미 시스템의 발산 가능성에 대하여 식(13)의 유도함을 배웠다. 만약 식 a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁=0을 유지한다면 식(27)로부터 식(31)을 얻을 수 있다.

2차 근에 의해서 결정되는 불안정성은 시스템의 일정한 편향에 대응한다. 만약 속도 v가 임계적인 발산 속도보다 크다면 차이 a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁는 음의 값이 되며w² 값의 하나는 - 부호를 가진다. 이것에 대응하는 비주기적 운동을 그림 4에 나타내었다.
이후의 해석을 단순하게 하기 위하여 a=0.5b로 가정하면 발산은 오직c₁<c₂ 조건에서만 가능하다.
부등식 (28)로 되돌아가서 다시 정리하면 식(32)와 같이 정리된다.

만약 c₁<c₂이라면 식(32) 부등식은 항상 만족한다. 따라서 만약 좌변 지지의 강성이 우변 지지보다 작다면 이 구조는 불안정성의 발진 형태가 불가능하므로 평형 상태(발산)로부터 비주기적인 출발보다 나쁜 상태가 없어 위협받게 된다.
반대 경우인 좌변 지지의 강성이 우변 지지의 강성보다 큰 c₁<c₂를 고려하자.
여기서 식(29)의 조건은 항상 만족하며 이것은 식(28)을 우리에게 고려하도록 남게 된다. 만약 이 식을 계수 속에 삽입하게 되면 임계 속도를 찾을 수 있으며 식(28)의 속도 v의 값은 식(33)으로 변환된다.

속도 v가 식(33)과 같아질 때 식(27) 근에서의 합은 0이 된다. 속도 값이 최소가 되면w² 의 값이 복소수가 되도록 식(33)의 값은 음의 값이 되며 운동은 그림 5와 같은 형태가 된다.
따라서 식(33)은 첫 번째 나타난 요동에서의 속도를 보여준다.

탄성적으로 지지된 마찰력에서의 흔들림[2]

마찰로 인하여 유도한 불안정상의 첫 번째 예제로서 그림 6에서 보여주는 시스템을 고려하자.

이 시스템은 임의의 마찰에서 질량의 중심에 고정되고 기울일 수 있는 반경R, 두께 2h, 관성 J_e의 적도 모멘트, 관성 J_p 의 극 모멘트로 구성한다. 이 디스크는 디스크의 대칭축 주변을 회전하지 않는다.
이 디스크는 동일한 반경R을 가진 마찰 링에 의해 지지된다. 링은 수직 축 주변의 강체 기반을 가지고 함께 회전된다. 수직 방향에서의 기저와 링 사이의 연결은 특성 강체C를 가진 탄성이다. 링의 관성은 디스크 관성과 비교하여 무시할 수 있다. 이것은 공간 프레임(x, y, z)과 그림 7(a)과 같은 디스크의 운동을 기술하기 위해 디스크 프레임(ξ, η, ζ)의 도입에 민감하다.
디스크의 흔들림은 그림 7(b)에서 보는 것과 같이 2개의 일반화된 좌표(α, β)에 의해 기술될 수 있다.

이들 두 좌표 시스템들과의 관계는 식(34)와 같이 나타낸다.

이들 변환은 작은 기울기에 대하여 식(35)와 같이 선형화 할수 있다.

현재 우리의 목적은 디스크와 마찰 링 사이의 반응을 계산하는 것이다. 탄성 층의 각 요소의 반응은 식(56)과 같이 수직축에 공선형(collinear)이며 z축은 오직 디스크 표면의 대응점의 수직 좌표에 의존한다고 가정한다.

여기서 Ø는 마찰 링에 따른 각이다. 디스크 프레임에서 식 (37)을 얻는다.

그림 7 힘 성분 F₂ζ=N은 디스크 표면의 정규 방향에서 동작하며 그림 8에서 보는 것과 같이 각 접촉점에서 마찰력의 원인이 된다.

접촉에서의 영구적인 미끄럼을 가정하면 식(38)과 같이 기본적인 마찰력을 쉽게 계산할 수 있다.

여기서 u는 마찰계수이다. 이를 식(37)과 식(38)의 힘 성분에 더하면 디스크와 링 사이의 각 접촉 요소에서 완전한 반응력을 식(39)과 같이 얻는다.

식 (39)에 대응하는 기본 토크는 식(40)과 같다.

식(39)를 식(40)에 대입하고 접촉선 ξ=RcosØ, η=RsinØ, ζ=-h에서 계산하면 기본적인 토크에 대하여 식(41)과 같이 정리할 수 있다.

접촉선에 따라 기본적인 토크 적분으로 디스크 기울기의 응답 가능한 전체 토크를 얻을 수 있다.

마지막으로 식(43)과 같은 디스크의 기울기를 지배하는 운동 방정식을 얻는다.

디스크의 제동을 설명하기 위하여 항  도입하면 식(44)와 같은 결과를 얻는다.

두 개의 축에 대응한 디스크의 기울기는 건식 마찰에 의해 원인이 된 skew 대칭 행렬을 통하여 결합한다. 이 기구는 그림 9에서 보여주며 물리적으로 다음과 같이 설명할 수 있다.
디스크의 기울기는 ξ-축 부근에 있다고 가정하자. 그림 9의 왼편 위에 있는 스프링은 종속적으로서 오른쪽에 있는 것보다 더 많은 응력을 가지고 있다. 왼쪽 위에 대응하는 반응력들은 더 크다. 이들은 복원 토크의 원인이 되며 이는 강성 행렬의 주요 대각선 항들을 통하여 수학적으로 표현된다. 디스크와 마찰층 사이의 상대적인 운동은 η축 부근 기울기 디스크의 마찰력의 원인이 된다.

유도된 기울기 토크의 마찰은 디스크의 우변과 좌변에서 반대 방향으로 동작한다. 그 결과 토크는 만약 스프링의 힘이 균일하다면 0이 되게 된다. 그러나 우리의 상황에서 이들이 비균일적으로 분포되고 디스크의 좌변 위에 동작하는 토크는 우변에 동작하는 것보다 크다.
이 결과 보상되지 않은 토크가 발생한다. 이것은 η축 부근의 디스크에 기울어진다. 이 사실은 강성 행렬에서 skew 대칭 항에 의해 수학적으로 표현된다.
지금 디스크가 새로운 축 부근에서 기울어진다는 가정에서 해석을 반복할 수 있다. 그 결과는 동일하다. 임의의 축 부근의 기울기는 다른 축 부근의 기울기인 수직의 원인이 되며 이 디스크는 흔들림이 시작된다. 안정도 조건을 도입하면 식(45)와 같은 형태를 얻는다.

첫 번째 부등식은 항상 만족한다. 두 번째 부등식은 다음과 같은 형태로 변환할 수 있다.

이 결과는 제동이 항상 불안정하다는 것 없이 탄성 마찰층 상의 기울기 디스크를 보여준다. 또한 마찰 클러치와 층의 발진에 대해 적절하다. 이것은 회전 디스크에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 안정도 조건은 최대 수용 가능한 마찰 계수를 결정하고 이는 디스크의 회전 속도에 의존한다.

대칭적으로 지지된 디스크의 불안정한 거동 (브레이크 소리)

두 번째 모델로서 브레이크에서 소리 나는 기본적인 모델을 설명한다. 이 모델은 Peter Hagedorn에 의해 제시된 모델이다. 그림 10과 같은 모델을 고려하자.

그림 10은 2개의 마찰 패드 사이를 누르는 강성 회전 디스크로 구성되어 있다. 이 패드들은 η-축 부근의 기울기와 축 변위에 모두 대응하도록 탄성적으로 지지되어 있다. 축 스프링들은 동일한 힘 N0을 가지고 사전 적재되어 있다. 디스크 위에 동작하는 힘들을 그림 11에 나타내었다.

이 힘들은 식(47)과 같이 계산할 수 있다.

자이로스코프 항을 무시하고 디스크 상에 동작하는 모든 토크를 식(48), (49)와 같이 계산할 수 있다.

운동에 대응하는 선형화된 방정식은 식(50), (51)과 같다.

식(50)과 식(51)은 잘 알려진 구조를 가진다. 2개의 자유도들이 건식 마찰을 통하여 비대칭으로 결합되어 있는 구조로서 이는 발진을 증폭시키는 에너지원이다. 이를 일반적인 형태로 표시하면 식(52)와 같다.

이에 대한 부등식은 식(53), (54)와 같이 정리된다.

첫 번째 부등식은 절대로 만족하지 않는다. 두 번째 부등식은 만약 마찰 계수가 충분히 크다면 만족할 수 있으며 이후 발진 불안정성이 발생한다.
기술된 메커니즘은 강하게 단순화됐다. 브레이크에서 소리 나는 실제 모델은 강체로서 마찰 디스크의 운동을 고려하지 않았다. 이것은 설명하기 위해서 디스크의 휨 모드를 취해야만 하지만 기계적 불안정성은 언제나 동일하게 남아있게 된다.

참·고·문·헌

1.Yakov Gilelevich Panovko and Iskra Ivanovna Gubanova, “Stability and oscillations of elastic systems”,
Consultants Bureau, 1965.
2. A. Fidlin, Nonlinear Oscillations in Mechanical Engineering, Springer, 2006.
3. Bolotin V. V. The dynamic stability of elastic systems. Holden-Day, San Francisco, 1964.