카오스 제어 101회
기계공학에서의 비선형 특성 XV

이번 호는 기계공학에서의 비선형 특성으로서 단일측 또는 양측 장벽에 관한 진자 발진의 카오스 현상을 설명한다.

소개

간단한 진자는 복잡한 동적 특성을 검증하는데 광범위하게 사용한 일반적인 사례이다. 이 진자는 충격이 없을지라도 풍부한 동력학을 가진다. 이것은 또한 충격과 비충격 액체 운동 영역 모두에 대하여 부분적으로 채워진 컨테이너에서 액체 출렁거림 동력학을 시뮬레이션하는 곳에 이용됐다. 도립진자는 또한 선박 롤링 동력학 모델에 사용되었다. Blinov은 각도 기울기에서 이상적인 한쪽 측면 하에서 동작하고 외전자의 제한된 회전을 가진 자이로스코프 진자의 운동을 해석했다. 다른 응용들은 갠트리 크레인 동력학과 진동 흡수기를 포함한다.
진자의 진동-충격 발진의 초기 연구들은 Babitsky, Shaw, Sharif–Bakhtiar과 Shaw에 의해 보고되었다. 이 연구들은 진자의 특정 주기와 카오스 운동의 존재와 안정도를 다루었다.
Moore and Shaw는 강한 장벽에 대응하는 진자의 고조파 여기를 실험적으로 연구했다. 이 진자는 정상 위치(아래 방향)와 역방향 위치 모두를 고려했다. 정현파 여기의 진자 응답은 비충격 운동, 안정한 서브하모닉, 카오스 운동을 나타낸다. 이들은 해석적으로 예측된 파라미터 영역에서 발생하는 것을 실험적으로 찾았다. 도립진자들은 초기 조건을 변경함으로 간단하게 얻어진 각각의 고정된 구동 진폭과 주파수에서 가능한 10개의 구별적인 정상-상태 응답을 가지고 있음을 찾았다.
Sharif–Bakhtiar와 Shaw는 원심력 진자 진동 흡수기의 동적 거동상의 운동 제한 효과를 연구했다. 이 해석은 비선형 충격 주기 운동의 존재와 안정도를 나타낸다. 중요한 관측의 하나는 원하는 동작 주파수에서 충격과 비충격 주기 운동의 공존이다.
Bayly와 Virgin, Slade 등은 비선형 충격 진자의 강제 여기 연구를 위한 수치적 시뮬레이션과 실험적 측정을 수행했다. 이들은 주기 영역과 카오스 영역들을 보고했다.
Garza와 Ertas, Todd와 Virgin은 정상 진자와 도립진자를 포함한 진자 충격들의 실험적 연구를 제안했다. 그들은 주기 궤도에서 윈도 사이의 카오스 응답을 검증했다. 이것은 카오스 영역이 이전의 주기 궤도의 주기성에 의해 제어된 수인 손가락형 어트렉터에 의해 특성화됨을 보여준다. 주기에서 하나의 카운터 임펄스와 하나의 미는 임펄스를 가진 클록의 이중 임펄스는 Amelkin and Kalitin에 의해 구축되었다.
경사진 조각 충격의 문제는 강성을 가진-슬립 문제와 같은 복잡한 동력학의 소개에 의해 찾아졌다. 진동 충격 동력학의 하이브리드 해석에 기반하여 운동학과 보완 조건들은 경사 충격 동안 슬라이딩 운동을 기술하는 구분 해석법을 Dongping과 Haiyan이 개발했다. 그들은 예제로서 2개의 병렬 강체 사이에 파라미터적으로 여기된 평면 진자를 채택했다. 이것은 슬라이딩 충격이 적당하게 선택된 파러미터들의 집합을 가진 시스템에서 발생함을 보여주고 있다. 운동-의존 불연속성에서 중심인 파라미터적으로 여기된 평면 진자의 동적 거동은 Mann에 의해 연구되었다.
접촉력은 비선형 탄성과 점탄성력에 의해 모델링된다. 이 모델링은 탄성 등각 접촉에 대하여 Hertzian 접촉 법칙과 관련된다. 이 모델링은 변형과 속도의 함수로서 고체 물체 사이의 복원 접촉력의 비선형성을 기술한 P˚ust과 Peterka에 의해 채택한 방법과 유사하다. 이와 같은 모델링은 속도-의존 충격력을 가진 재료의 점탄성 재료 장벽에 대하여 편리하다는 것이 밝혀졌다. 실험과 수치 결과들은 다중 주기 어트렉터, 서브하모닉, 준주기, 카오스 발진의 존재를 나타내고 있다.
Piiroinen 등은 강성 정지를 가진 자유 스윙 진자 충돌의 몇몇 실험적 결과들을 보고하고 있다. 이 진자는 그림 1에서 보여주는 것과 같이 각도 를 가지고 기울어져 있으며 식 (1)과 같은 고조파 여기를 한다.



(1)

지지물의 기울기는 중력의 영향을 줄이기 위해 도입됐으며 진자의 자연 주파수인 을 줄이는 결과이다. 진자 운동 방정식은 비차원 형태로 식 (2)와 같이 기술된다.

(2)

여기서 '는 비차원 시간 파라미터 , , , 에 대응하는 미분이다. 충격 아래에서 식 (2)는 식 (3)의 충격법칙을 가지고 확장되어야만 한다.

(3)

이는 임의의 장벽이 없다는 것에 주목해야 한다. 식 (2)에 의해 제어되는 것으로서 진자의 응답은 연성 비선형 특성을 가진다. 장벽 각도 의 다른 값들에 대한 식 (2)와 식 (3)의 수치 시뮬레이션은 비충격 주기인 1주기 운동으로부터 주기 추가 종속에서 안정한 주기 궤도의 창을 포함하는 충격 카오스 운동까지 진자 운동에서 급격한 변화를 유도하는 그레이징 분기를 나타낸다. 이 실험 결과들은 수치 시뮬레이션을 확인하고 그림 2는 4개의 다른 경사각도  = 10°, 20°, 30°, 40°에 대하여 진자 응답 와 여기 주파수 비 의 의존성을 보여준다.

1주기 리미트 사이클이 존재하고 진자는 임의의 충격에 경험하지 못하는 임계 주파수 비율이 존재한다. 임계 힘 주파수에서 진자는 임계값보다 큰 주파수에서 발생하는 정지와 충격 발진을 가진 스치는 것이 관측됐다. 충격 발진들은 카오스와 주기 운동의 복잡 순차에 의해 특성화된다. 충분히 큰 여기 주파수에서 운동은 주기당 한 번 정밀하게 충격을 주는 1주기 운동으로 정착된다.
Shaw는 정상 진자와 역도립 진자에 대해여 실험적 연구를 수행했다. 그림 3(a)는 = 1.42와  = 5.05에 대한 두 장벽 위의 충격을 가진 카오스 운동의 일반적인 시계열 데이터를 보여준다. 그림 3(b)는  = 1.39와  = 10.3에 대한 우측 장벽 위의 충격을 가진 카오스 운동을 나타낸다.

Demeio와 Lenci는 두 개의 측면 벽 사이의 도립진자 충격으로 만들어진 충격 댐퍼의 채터링 발진을 해석했다. 강조는 휴식을 가져오는 마이크로 발진에 의해 요구된 시간 주기를 추정하는 것을 제공한 것이다. 시간 주기가 여기 주기와 동일하게 될 때까지 채터링은 정지되는 것으로 관측됐다. 채터링 발진은 매우 작은 진폭에 의해 특성화되며 이는 그림 4에서 보여주는 것으로서 시간 축에서 감소한다.



이 발진들은 여기 주기의 분수인 채터링 시간 라 불리는 유한 시간 주기에서 발생하는 충격의 유한 수로 구성한다. 여기 진폭이 채터링 진폭에 점진적으로 증가함으로써 채터링 시간이 임계값인 에 도달할 때까지 시간은 증가한다. 그 이상의 값에서는 채터링이 사라지며 과도 시간 이후에 응답은 다른 어트렉터로 접근한다. 이러한 것들은   범위를 넘어서는 채터링을 가지고는 동시에 공존하지 않을 수 있다.

얼음을 가진 선박의 충격 상호작용

1. 소개와 모델링
얼음 충격 적재는 선박과 바다 구조에 중요한 손상의 원인이 될 수 있다. 표류하는 얼음판, 유빙과 빙산들이 환경 조건의 활동 하에서 빠른 속도를 가지고 이동할 때 충격이 나타난다. 고속으로 이동하는 얼음이 좁은 구조에 대하여 출동할 때 충격의 힘은 불규칙, 렌덤하며 반복적인 섭동을 포함한다. 랜덤 섭동들은 접촉 면적에 따라 랜덤한 위치들에서 얼음이 부서질 뿐만 아니라 얼음 특성의 랜덤 변화에 의해 설명될 수 있다. 선박과 바다 구조를 가진 얼음 충격의 포괄적인 설명은 Ibrahim 등이 발표한 논문에 기준한다.
선박의 롤링 발진 동안 얼음판은 미끄러짐 측면을 가지고 충격이 될 수 있다. 얼음이 그림 5에서 보여주는 것과 같이 롤링 각도 에서 선박이 얼음과 부딪힐 때 얼음은 미끄러짐을 가진 장벽을 구성한다.



운동의 선박 방정식은 에 대하여 식 (4)와 같이 정리된다.

(5)

여기서 와 는 각각 선형과 비선형 유압 동력학 제동 인자이다. 은 선박의 작은 발진의 롤링 자연 주파수이며, , 들은 선박 비선형 복원 운동 계수이다. 는 바다 파동 여기 운동으로 결정론적 또는 랜덤이 될 수 있다. 전체 복원 운동이 식 (6)과 같이 0으로 진행할 때 미끄러짐은 식 (6)의 평형 위치인   또는 배를 전복시킬 수 있는 롤링 각 에 도달한다.

(6)

비차원 파라미터 , 를 소개함에 의해 식 (5)는 식 (7)과 같이 정리된다.

(7)

여기서 , , , , 이다. 충격에서 를 가짐을 주목한다.
식 (7)은 비선형 유압 바다 파동 하에서 선박 롤 동력학을 기술하는 비선형 미분 방정식이다. 충격 각도 에서 선박 한 측면 위의 유동 얼음 충격을 나타내는 일측 장벽에 대하여 식 (8)의 Zhuravlev 변환이 소개되었다.

(8)

이 변환은 축에서 장벽이 이동하며 새로운 위상 공간에서 원점 평면상의 위상 공간의 영역 에 그려진다. 이 경우 선박의 운동 방정식은 식 (9)를 취한다.

(9)

식 (9)는 Zhuravlev 비평활 좌표 항에서 선박의 롤 운동을 기술한다. 이 방정식은 임의의 충격 항들을 명시적으로 포함하지 않는다.

2. 비섭동 선박 동력학
제동이 없는 상황에서 비섭동 운동 방정식은 식 (10)과 같이 정리된다.

(10)

여기서 은 선박의 비선형 복원 모멘트이며 선택된 충격 각도 , 비선형 계수 , 에 대하여 그림 6에 보여주고 있다.



퍼텐셜 에너지 는 제한 를 넘어 복원 모멘트 의 적분에 의해 식 (11)과 같이 얻어진다.

(11)

여기서 계수 들은 , , 의 함수들이다. 하방 제안 의 선택은 그림 6(b)에서 보여주는 것과 같이 퍼텐셜 에너지가 최소가 되도록 선택함을 주목한다. 이것은 에서 퍼텐셜은 을 가진다. 시스템 식 (10)의 해밀토니안 는 운동의 첫 번째 적분인 식 (12)를 가진다.

(12)

를 가지는 한 위상 다이어그램은 그림 7에서 보여주는 것과 같이 위상 공간 에서 주기적 폐루프 궤도이다.



그림 6(b)의 기준을 가지고 는 이것의 최댓값 에 도달한다. 주기 궤도들은 오직 도메인 , 내부에서 존재한다는 제한을 갖는다. 여기서 이며 는 충분히 작다. 는 선박에서 발생하게 될 충격의 임계적 에너지 레벨이며 운동의 궤적들은 구조적으로 불안정하게 될 것이다.

에 대응하는 운동은 그림 7에서 점선 곡선에 의해 보여준 임계적 궤도가 뒤따른다. 이 궤도는 단일 측 장벽을 가진 선박의 그레이징 충격을 기술한다. 시스템은 의 초기속도가 주어진다고 놓자. 발진의 주기 는 식 (13)과 같이 표시되는 방정식으로부터 추정할 수 있다.

(13)

은 그림 7에서 보여주는 것과 같이 전복하기 이전 선박 운동의 전체 범위임을 주목한다. 운동의 특성은 초기 속도의 값 에 의존한다. 에 대하여 피적분 함수는 언제나 실수이며, 조건 에 의해 제어된 범위 내의 임의의 값으로 가정할 수 있다. 주어진 초기 조건 에 대하여 선박은 두 개의 값 과 사이에서 발진하게 될 것이며 발진의 대응 주기는 식 (13)과 같다.

(13)

만약 이라면 피적분은 실수이며 무한대로 접근하고 선박은 전복하는데 가장자리에 있게 된다. 이라면 피적분은 언제나 실수이며 의 값이 무한정으로 증가한다. 이 경우에 운동은 진동하지 않으며 선박은 회전운동을 하게 될 것이다.

3. 섭동된 선박 동력학
정현파 여기 하에서 식 (9)는 여기 진폭과 주파수의 다른 값 아래서 수치적으로 풀린다. 여기서 는 여기 진폭, 는 이다. 수치 해는 그림 7에서 보여주는 점선 폐곡선에 의한 그레이징 궤도를 점하고 있는 초기 조건에 대하여 얻어졌다.
그림 8(a)~8(f)는 여기 주파수 과 6개의 다른 여기 진폭  0.02, 0.046, 0.084, 0.094, 0.106, 0.11 각각에 대한 시계열 응답 6개의 선택된 샘플을 보여주고 있다.



이것은 상대적으로 낮은 여기 진폭 에 대하여 응답은 주기적이며 선박의 롤링 진폭이 장벽에 도달하지 않음을 보여준다. 이것은 그림 9(a)에서 보여주는 위상공간과 그림 10(a)에서 보여주는 1주기 고정점에 의한 포엔카래 맵으로 확인된다.





여기 진폭이 증가함으로써 응답은 그레이징 분기를 경험하고 진폭 변조 패턴은 에 대하여 그림 8에서 보여주는 것처럼 가정한다. 그림 9(b)와 그림 10(b)는 각각 그림 8(b)에 대응하는 위상공간과 포엔카래 맵을 보여준다. 이 응답은 1개 여기 주기당 하나의 응답을 나타낸다. 여기 진폭 에서 응답은 그림 8(c), 9(c), 10(c)에서 보여주는 것과 같이 다중 충격을 가진 진동을 가진 카오스를 보여준다.
와 같이 여기 진폭이 증가함으로써 응답은 그림 8 (d), 그림 9(d), 그림 10(d)에서 보여주는 것과 같이 4주기의 주기 운동을 가진다. 그런 다음 이것은 그림 8(e), 그림 9(e), 그림 10(e)에서 보여주는 여기 진폭 에 대하여 3주기로 가정하고 이어서 에 대하여 그림 8(f), 그림 9(f), 그림 10(f)에서 보여주는 것과 같이 7주기가 이어진다. 와 같은 많은 여기 진폭에 대하여 선박은 전복되는 현상이 나타나고 회전운동을 하게 된다. 이들 시나리오들은 초기 조건들의 주어진 설정에 대하여 얻어진다. 그러나 다른 초기 조건들에 대하여 동일 여기 파라미터 조건에서 공존할 수 있는 다른 어트렉터의 가능성이 존재 한다.
강제 여기 하에서 선박 롤링 동력학은 여지 진폭, 주파수, 제동 인자의 값에 의해 제어된다. 이 선박 응답은 초기 조건에 의존하는 선박의 전복을 유도하는 회전운동을 경험할 수 있거나 비충격 또는 충격 진동이 될 수 있다. 그림 8에서 보여준 그레이징 궤도에 의해 진동하는 위상공간의 전체 영역을 커버하는 초기 조건의 다른 집합에 대하여 식 (9)는 수치적으로 풀어졌다. 회전운동을 이끄는 초기 조건이 진폭 응답의 를 초과하는 것을 이끌고 있음을 주목한다. 따라서 안전한 유역(basin)은 진동 응답 진폭이 보다 작은 것을 유도하는 초기 조건의 집합에 대응한다. 

그림 11은 여기 주파수 파라미터 과 다른 여기 진폭 값에 대한 어트렉션의 안전한 유역의 샘플을 보여주고 있다. 이것은 여기 진폭의 상대적으로 작은 값에 대하여 그레이징 궤도에 의해 진동하는 전체 영역이 검은 영역에 의해 그림 11(a)에서 보여주는 것과 같은 1주기의 비충격 진동 발진이 있는 것으로 보인다.



여기 진폭이 점진적으로 증가함으로써 이 응답은 그림 10(b)에서 보여주는 어두운 회색 영역에 의해 음영 처리된 변조운동을 가정한다.
이 운동은 모든 10개 여기 주기에 대한 하나의 충격에 의해 특성화된다. 그런 후 변조된 운동은 에 의해 그림에서 보여준 다중 주기 발진을 가지고 공존하며, 그림 11(c)에서 여기 진폭 까지 올린 것으로 보여주는 카오스 운동을 보여주고 있다. 그 이상의 진폭에서는 그 영역은 그림 11(d)에서 보여주는 것과 같이 회전운동 영역에 의해 급속히 파괴된다. 여기 진폭 에 대하여 전체 영역은 전복되거나 선박 회전 영역에 속한다.
그림 12는 의 주파수 비율에 대하여 응답-여기 진폭의 평면상의 분기도를 보여준다. 이 그림은 선박 동력학의 모든 가능한 영역을 요약했다. 여기 주파수의 다른 값들에 대하여 분기도는 여기 주파수가 공진 주파수에 접근함으로써 특별하게 다르게 된다는 점을 주목한다.



그림 13은 여기 주파수 0.88, 0.94, 1.20의 2개의 다른 값에 대한 안정도 부분 의 의존성을 보여준다.



안정도 부분은 또한 안정도 무결성 인자(SIF; safety integrity factor)로서 Lansbury, A.N., Thompson, J.M.T., Stewart, H.B., McRobie, F.A.에 의해 문헌에서 알려져 있다. 이것은 그레이징 궤도에 의해 둘러싸인 전체 면적의 위상 평면에서 안정한 영역 면적의 비를 추정함에 의해 얻어지며, 이는 외부 여기가 없을 때의 안전한 유역이다. 여기 진폭이 임계값보다 작은 경우에 여기 주파수에 의해 제어된 안전한 유역에 대하여 모든 손상이 없게 된다.
위의 이러한 임계값 위에서 안전 유역의 값은 축소하며 안정도 부분은 떨어진다. 이것은 여기 주파수가 증가함으로써 상부 여기 레벨이 증가함을 보여주고 있다. 이것은 시스템이 연성 비선형 특성에 의해 제어되고 더 많은 힘이 여기 주파수 증가로서 큰 응답 진폭의 원인으로 요구된다는 사실에 기인한다. 안정도 부분의 감소하는 곡선의 다른 중요한 특징은 안정도 부분이 여기 주파수가 공진 주파수보다 증가할 때 더 적은 급격성을 가진다.

4. 비탄성 충격 모델링
비탄성 충격의 경우에 충격 조건 가 소개되어야만 한다. 여기서 는 복원 계수, , 들은 각각 충격 전후의 선박의 속도이다.
계수 는 1에 근접한 것으로 가정하며 는 작은 파라미터로 고려한다. 식 (8)로 주어진 좌표 변환에 따라 에서 지정한 충격 조건 는 에서 식 (14)로 변환된다. 

(14)

이것은 이 점프가 디락 델타 함수를 이용하여 운동 방정식으로 들어가는 것을 소개하는 것이 가능하며, 따라서 식 (14)의 조건을 이용하여 피할 수 있다. 선박에서 얼음 충격으로 인한 추가적인 항은 식 (15)와 같이 정리할 수 있다.

(15)

식 (15)는 식 (16)을 제공한다.

(16)

여기서 는 충격의 시정수이다. 이므로 식 (9)는 비탄성 충격의 경우에 식 (17)과같이 쓸 수 있다.

(17)

정현파 여기와 복원 계수 의 조건 아래서 식 (17)은 여기 기존의 다른 값을 가지고 수치적으로 풀어진다. 비탄성 충격()으로 인한 선박 응답 사이의 비교와 여기 주파수 에 대한 탄성 충격 에 대한 응답을 초기 조건이 다른 두 집합에 대하여 그림 14와 15에 나타내었다.

초기 조건 , 에 대하여 인 경우에 대하여 그림 14(a)와 그림 14(b)에서 보여주는 것과 같이 선박은 주기 충격 롤 발진을 나타낸다. 한편 그림 14(c)와 그림 14(d)에서 보여주는 것과 같이 의 경우에 보다 적은 정상 상태 진폭을 가진 주기 비충격을 나타낸다. 다른 초기 조건 , 에 대하여 인 탄성 충격의 경우 회전 운동을 의 비탄성 경우에는 주기 운동을 그림 15(a)와 그림 15(b)에 각각 나타내었다. 

3개의 다른 여기 주파수  0.88, 0.94, 1.2에 대하여 여기 진폭상의 응답 진폭의 의존성을 그림 16(a)~그림 16(c)에 각각 나타내었다.



이 그림들은 하나의 운동 영역에서 다른 운동 영역으로의 응답 분기를 나타낸다. 이들은 1주기 운동, 변조 운동, 다중 주기 운동, 카오스 응답과 회전 운동을 포함한다. 여기에는 초기 조건에 의존하는 여기 진폭의 유한 영역에서 발생하는 몇 개의 응답 영역이 또한 공존한다. 이것은 인 여기 주파수에서 명백하다.
한편 그림 16(c)는 여기 진폭의 폭넓은 범위에 대하여 회전 운동의 공존에 덧붙여 충격 1주기 운동이 공존하며 비충격 1주기에 대하여 좁은 영역을 보여준다. 일반적으로 여기 주파수가 증가함으로써 회전 운동에서의 발생하는 여기 진폭은 감소한다. 예상한 바와 같이 탄성 충격과 관련된 추가적인 제동은 식 (9)에서 선형과 비선형 항보다 중요하다.

배영철 전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)