카오스 제어 96회
기계공학에서의 비선형 특성 Ⅹ

이 글에서는 지난 호에 이어 측면 출렁거림의 제동에 대하여 Franklin T. Dodge이 발표한 “The New Dynamic behavior of liquids in moving containers(이동 컨테이너에서의 액체의 새로운 동적 거동)”에서 출렁거림의 기계적 모델을 중심으로 설명한다.

소개

측면 출렁거림에 관해서 지난 호에 해석적, 실험적으로 설명했다. 출렁거림 힘과 토크는 피드백 루프를 통하여 제어 시스템과 상호작용하기 때문에 출렁거림은 우주선의 안정도에 큰 영향을 줄 수 있다. 우주선 제어와 안정도 해석에 있어서 출렁거림의 동적 효과를 다루는 목적에 있어서 출렁거림은 등가 선형 기계적 시스템에 의해 개념적으로 액체로 대치하는 것이 편리하다. 발진하는 점의 질량과 강체의 운동 방정식들은 슈퍼컴퓨터를 이용하여 유체 동력학 방정식보다 해석이 더욱 쉽다는 것을 포함한다. 연속 액체 운동 방식에서 유연 우주선의 운동 방정식의 결합은 일반적으로 설계한 해석에 대하여 또한 계산적으로 요구한다.
액체가 완전히 컨테이너에 채워져 있을 때 액체는 등가 강체 모델에 의해 동력학적으로 대치될 수 있음을 이론은 보여준다. 그러나 액체 표면이 움직이는 데 자유로울 때 합성 출렁거림은 하나 또는 그 이상의 자연주파수를 가지므로 등가 기계적 모델은 강체가 될 수 없다. 그러나 동적 효과들은 아직까지 기계적 모델에 의해 표현될 수 있지만, 모델은 발진하는데 자유로운 몇몇 질량을 포함해야만 한다는 것을 이론은 보여준다.
선형 출렁거림의 동적 효과들이 다른 선형 동적 시스템에 의해 표현될 수 있는 사실은 놀라운 일이 아니다. 기계적 모델의 파라미터들이 탱크의 형상과 액체특성에 의해 오직 의존하지만, 탱크에 부과한 여기 형태에 의존하지 않는다는 것은 놀랄만한 일이다. 이에 따라서 탱크 벽은 강체이다.
기계적 모델의 주요 장점 중 하나는 제동이 모델의 선형 점성 기계적인 댐퍼의 부가에 의해 쉽게 포함될 수 있다는 것이다. 다른 장점은 탱크의 형상이나 채워진 레벨에 의존하지 않는 모델의 형태이다.

모델 파라미터의 해석적 편차

그림 1은 여기에서 설명하고자 하는 기계적 모델의 종류를 보여준다. 대부분의 설명은 진자의 자연 주파수 가 축 가속 (또는 중력 레벨)에서 자동으로 변화하는 것을 조정하는 모델의 진자 형태를 다루기 위해 액체 자연 주파수로서 처리한다. 여기서 스프링 상수 의 값은 가 변화할 때 변경되어야만 한다. 진자 모델과 스프링-질량 모델 사이의 변환은 직선(선형)이다. 스프링-질량은 진자 질량으로서 동일한 높이에 위치된다. 질량은 진자로서 동일한 자연 주파수를 제공하는 스프링 상수 을 가지는 스프링을 통하여 탱크 벽면에 부착되며, 그림 1에서 나타나지 않았지만 진자 각도 제동 장치는 선형 제동 장치에 대하여 변화된다.

1. 기계적 모델의 운동 방정식
이 유도는 진자 형태보다도 직선이므로 모델의 운동 방정식들은 모델의 스프링-질량 형태로 유도된다. 출렁거림 힘과 토크를 직접 비교하기 위하여 제동은 초기에 무시한다. 그림 2는 해석에 사용된 부호와 모델을 보여준다.



아래 주어지는 모델 방정식의 유도는 탱크 형상과 채워진 레벨에 독립적이다. 스프링, 질량 등의 시스템은 실제 탱크 내부와 적합하다고 여겨지고 액체로 대체된다. 명확하게 하기 위하여 오직 2개의 스프링-질량이 보여주었지만, 각 출렁거림 모드에 대하여 하나의 스프링-질량이 존재한다.
스프링 질량은 관성을 가지지 않으며 이에 따라 관성 의 임의의 필요한 모멘트는 강하게 부착된 질량 에 할당된다. 시스템의 질량 중심은 액체로서 탱크 하부 위에 동일한 높이이며 질량 의 위치는 질량 중심에 기준 한다. 탱크는 작은 시변 선형 변위 와 질량 중심을 통한 축에 대한 각 회전 에 의해 여기 된다. 스프링 질량은 탱크 운동의 결과로서 탱크 벽의 상대적인 거리인 으로 편향된다.

2. 정적 특성
액체의 정적 특성을 보존하기 위하여 질량의 모든 합은 액체 질량 과 같아야만 하며 모델의 질량 중심은 액체로서 동일한 고도가 되어야만 한다. 이들 제약들은 식 (1)과 식 (2)에 의하여 해석적으로 표현한다.

      (1)

 (2)

3. 동적 특성
식 (1)과 식 (2)는 모델 파라미터의 값을 고정하는데 충분하지 않다. 이를 해결하기 위해 모델은 또한 출렁거림 힘, 토크, 자연 주파수를 사용하여야 한다. 자연 주파수의 중복은 식 (3)을 요구한다.

  (3)

여기서 은 차 모드의 출렁거림 자연 주파수이다. 이것은 스프링 상수와 스프링-질량이 어떻게 선택되어야만 하는지를 보여주는 첫 번째 관계이다. 그러나 모델 힘과 토크들은 다른 관계 개발을 위해서 시험되어야만 한다.
 방향에서 탱크 위에서 소모한 전체 힘은 이동하는 질량의 역관성에 의해 식 (4)와 같이 주어진다.

(4)

여기서 작은 진폭의 가정으로 인하여 sin()는 에 의해 대치되며 ·는 미분을 나타낸다. 식 (4)를 식 (2)에 삽입하면 식 (5)와 같이 간략화된다.

(5)

위와 같이 탱크 위에 소모된 전체 토크는 식 (6)과 같이 주어진다.

(6)

여기서 마지막 항은 탱크 중심선으로부터 각 스프링-질량의 오프셋으로 인한 토크이다. 각 스프링-질량의 각각에 대한 운동 방정식은 식 (7)과 같이 표현된다.

(7)

탱크 가속은 주파수 에서 발진하는 것으로 가정한다. 따라서 와 에 의해 주어지는 탱크 운동의 성분은 식 (8)과 같이 표현할 수 있다.

(8)

여기서 식(3)은 을 제거하기 위하여 사용해왔다. 이들 방정식을 가지고 탱크 위의 토크와 힘의 진폭들은 해석적으로 식 (9), 식 (10)과 같이 표현될 수 있다.

(9)

(10)

4. 예외
직사각 교차 면을 가진 탱크와 같은 대칭축이 없는 탱크의 여기된 특수 출렁거림 모드는 탱크 가속의 방향에 의존한다. 여기에는 주파수와 출렁거림 질량과의 비교를 가진 2개 또는 그 이상의 모드들이 존재한다. 따라서 전체 모델 질량은 액체의 전체 질량보다 크게 되며 식 (1)에 명백하게 반대된다. 그러나 운동에서 전체 질량 집합은 액체의 전체 질량을 결코 넘어가는 일이 없다.

직사각형 탱크

이전에 직사각형 평행 파이프 탱크에 관하여 출렁거림 힘과 토크들에 대하여 유도하였기 때문에 탱크 형상들은 , , 과 같은 모델 파라미터들이 검증하기 위한 예제로 사용되었는가를 탱크 형상과 채워진 레벨의 함수로서 결정한다. 여기서는 그림 2에서 보여준 것과 같이 방향에서 탱크의 병진 또는 축에 대하여 각도 회전에 의해 여기된 오직 2차원 출렁거림 모드를 고려하게 될 것이다.
식 (11)에 의해 주어진 축에 평행인 탱크의 수평 여기에 대한 출렁거림 액체에 의한 탱크에서 소모한 측면 힘은 식 (12)와 같이 재생산된다.

(11)

(12)

식 (11)을 식 (9) 모델의 병진으로 생성된 힘에 대한 표현을 비교하면, 만약 모델 질량들이 식 (13)과 같이 선택된다면 출렁거림 힘은 모델에 의해 중복됨을 보게 될 것이다.

(13)

출렁거림 자연 주파수들은 식 (14)와 같이 재생산된다.

(14)

(14) 따라서 모델의 스프링 상수는 식 (15)와 같이 선택되어야만 한다.

(15)

식 (16)에 의해 주어진 질량 중심을 통한 축에 대한 회전 가속의 출렁거림 힘은 식 (17)과 같이 재생산된다.

(16)

(17)

모델 힘의 비교에서 쉬운 비교를 허용하기 위하여 출렁거림 힘 표현은 식 (18)과 식 (19)와 같은 식별자를 이용하여 약간 다르게 표현될 수 있다.

(18)

(19)

식 (18)과 식 (19)의 식별자를 이용하여 식 (16)을 다시 정리한 후, 회전에 의해 원인이 되는 힘의 중복을 식 (13)에서 행한 것으로써 질량 모델에 대한 동일한 값이 주어짐을 식(9)로부터 볼 수 있다. 그리고 질량의 축 고도는 식 (20)이 되도록 선택해야만 한다.

(20)

출렁거림 토크는 병진 여기에 대해서는 식 (21)로 주어지고 회전 여기에 대해서는 식 (22)와 식 (23)으로 주어진다.

(21)

(22)

(23)

모델 토크에서 이러한 관계의 비교는 힘 중복 요구에서 찾아진 과 에 대한 동일한 요구를 제공한다. 덧붙여 모델의 관성 모멘트는 식 (24)와 같이 선택되어야만 한다. 

(24)

모든 다른 모델 파라미터들이 이미 결정되었기 때문에 효과에서 이 방정식은 를 결정한다. 일반적으로 는 토크에 크게 공헌하지 않는다. 

제동의 침입

출렁거림 액체의 운동 에너지 조각은 운동의 각 사이클 동안에 소산된다. 기계적 모델에서 제동을 포함하여 어떻게 정확한 해석을 하는가 하는 문제는 어렵지만, 제동이 작을 때 등가 선형 점성 제동에 의해 정확하게 표현할 수 있다는 가정이 적정하다.
그림 3에서 보여주는 것을 포함한 선형 제동한 기계적 모델은 다시 앞서 설명한 것과 일관성 유지를 위해서 스프링-질량 형태로 가정한다.



제동을 가지고 출렁거림 질량에 대한 운동 방정식은 식 (15)와 같다.

(25)

여기서 는 차 모드의 선형 제동의 제동 계수, 은 제동 상수의 값이다. 이전에 해석을 수행함에 의해 출렁거림 힘은 식 (26)의 표현에 의해 주어진 것으로 결정 된다.

(26)

제동이 작다고 가정하기 때문에 이 가정은 과 모델 파라미터들이 비제동에서 동일하다는 가정을 만든다. 더욱이 동일 제동은 병진운동과 회전운동에 인가되지만, 이것은 실험적으로 검증됐다.
그림 4는 제동한 기계적 모델에 의해 예측된 힘이  모드에 대하여 실험적으로 잘 일치함을 보여주고 있다. 따라서 검증된 이 가정은 모델 개발에서 만들어진다.



 모드 공진은 모델에 의해 예측된 것보다 시험에서 더 뛰어나다. 이것은  모드에 대하여  모드 제동 계수를 사용하는 데 필요성에 의해 1차적으로 원인이 된다. 은 시험에서 보다 신뢰성 있게 측정된다. 명백하게 두 번째 모드 제동은 첫 번째 모드 제동보다 작다. 

같은 절차에 따라 제동 모델에 의해 예측된 토크는 식 (27)과 같이 정리할 수 있다.

(27)

이 결과는 또한 실험 결과와 잘 일치한다.

모델 파라미터의 실험적 유도

앞에서 설명한 절차에 의한 기계적 모델의 파라미터를 결정하기 위해서는 출렁거림에 대한 이론적 해석이 필요하다. 많은 경우에 이와 같은 해석은 불가능하거나 실제적이지 않다. 이를 위해선 일반적으로 스케일 모델 탱크를 이용하는 실험 측정으로부터 모델이 개발되어야만 한다. 가장 좋은 절차는 주파수들의 범위를 출렁거림 자연 주파수로 둘러싸는 것을 넘어서는 수평과 피칭 운동 모두를 이용한 단단한 고조파 운동 속으로 탱크를 여기시키는 것이다. 또한, 여기 주파수의 함수로서 힘과 토크의 응답 결과를 측정하고 힘과 토크 측정에서 모델을 맞추는 것이다.
만약 실험 장치들이 초과하는 전기적 잡음이나 구조적 링을 소개하는 것 없이 탱크가 빠르게 정지하는 것을 허용한다면, 또한 만약 측정이 탱크가 정지된 후에 최대 힘과 토크를 즉각적으로 해결하는 데 충분하다면 시험 절차들은 단순화시킬 수 있다. 예를 들면 만약 탱크 여기가 출렁거림 자연 주파수 이하의 주파수 에서 진폭 의 순수한 병진이라면 출렁거림 질량은 식 (4)와 식 (7)의 조합에 의해 계산된 후 식 (28)과 같이 주어진다.

(28)

또한, 액체 질량 중심 위의 출렁거림 질량 진자 힌지(hinge) 점의 위치는 식 (29)와 같이 계산될 수 있다.

(29)

여기서 와 는 탱크가 빠르게 멈춘 후 측정한 최대 힘과 토크이다. 만약 이것이 반출력 법에 의해 결정되는 제동을 허용하는 것보다 다른 이유가 없다면 일반적으로 완전한 힘과 토크 응답을 결정하기 위해서는 정상 상태 출렁거림 시험을 수행하는 것이 보다 정확하다.

1. 예제
기계적 모델 개발을 위한 시험 데이터 사용의 첫 번째 예제는 축 대칭이 아닌 탱크 형상에 관한 것이다. 한때 NASA는 궤도 실험으로서 SATURN Ⅴ ‘달로켓’의 S-IVB 단계의 액체 수소 탱크 이용을 고려했다. 이 탱크는 불규칙한 칸막이의 연속으로 나누어져있으며 문에 연결되어 있고 액체 수소가 다 소모된 이후에 실험실들에서 사용됐다. 칸막이의 배열을 그림 5에 보여준다.



불규칙하게 형성된 칸막이는 S-IVB 단계의 출렁거림 특성을 변경하였고 또한 롤 여기를 수용할 수 있는 출렁거림을 만든다.
출렁거림 모드들은 액체 모델로서 물을 사용한 1/14.8 스케일 모델의 실험실 시험에 의해 결정된다[8]. 시험들은 칸막이 개방과 닫힘 사이의 문들을 가지고 수행하였다. 개방 문의 배치는 각 칸막이에서 출렁거림과 결합되어 있지만, 이것은 닫힘 문 배열로부터 매우 다른 결과가 있음을 알 수 있다. 따라서 대부분 시험들은 문이 닫힌 상태에서 시험된다. 병진 여기와 롤 여기 둘 다 사용되었다. 여기 방향에서 출렁거림 힘과 병진 여기의 방향에서 수직 축에 대한 토크 측정을 위해 저울을 사용하였다.
여기서는 오직 병진 여기 시험을 설명하게 될 것이다. 출렁거림 모드와 자연 주파수들은 주파수 범위에 대하여 고정된 방향에서 상대적인 각도 의 직렬 병진에서 탱크 발진에 의해 결정된다. 이 모드들은 오직 칸막이가 액체를 포함할 때 최대 힘이 각 칸막이에 대하여 얻어진 방향 지시에 의해 결정된다. 모드가 식별된 이후에 상세한 정상 상태 힘과 토크 측정은 주파수 범위가 출렁거림 범위를 포함하는 것에 대하여 얻어진다.
그림 6은 모델이 시험 결과로부터 개발됨을 보여준다. 모델의 스프링-질량 형태는 그림 6에서 보여주고 있지만, 진자 형태는 동일하게 응용할 수 있다. 분포되지 않은 출렁거림 질량의 위치는 칸막이 질량의 중심과 일치함을 주목해야 한다. 이들은 이 모델에서 고려한 출렁거림 모드들의 수를 명확하게 하기 위하여 오직 이 위치로부터 변위됨을 보여준다. 출렁거림 질량이 작고 출렁거림 주파수가 높으므로 작은 칸막이는 그림 5에서 고려하지 않았던 칸막이 1과 2의 오른쪽을 보여준다.



직사각형 칸막이 1과 2에 대한 모델은 결과의 예제로서 논의하게 될 것이다. 각각 칸막이에 대한 2개의 출렁거림 모드의 방향은 각각의 오른쪽 각도에 존재한다. 여기가 그림 5에서 보여주는 것과 같이 임의의 각 에 따라 방향을 가질 때 칸막이 1에 대한 차 출렁거림 모드의 힘 응답은 식 (30)과 같이 표현할 수 있다. 

(30)

여기서 은 모드의 활동선을 따라 출렁거림 질량 의 변위이다. 이전에 제공한 일반적인 관계로부터 여기 방향에서의 단단한 힘은 식 (31)과 같이 주어진다.

(31) 

여기서 는 이 칸막이에 대하여 강하게 부착된 질량이다. 이들 두 개의 관계 조합은 여기 방향에서의 출렁거림 힘이 식 (32)와 같이 주어진다.

(32)

식 (32)는 모델의 출렁거림 질량의 합이 실제로 액체 질량보다 커야 함에도 여기 방향의 고려가 없이 힘의 공진 부분에 참여하는 유효 질량은 전체 액체 질량보다 크지 않다는 것을 보여준다. 웨지형 칸막이(칸막이 3과 4)에서 2개의 출렁거림 모드의 활동 선들은 이들이 8 °보다 작은 수직성으로부터 다르다 할지라도 각각 완전한 수직이 아니다. 따라서 여기에는 오직 모드의 하나에 여기된 여기 방향이 없다. 수직성의 부족이 실제 또는 작은 비선형성 효과에서 인위적이든 간에 이 실험에서는 명확하지 않다.
시험에서 칸막이 5의 모델 차수를 예측한 예제의 결과를 그림 7에 보여준다. 이 칸막이에는 와 를 가지고 정렬한 주목할 만한 2개의 모드가 있으며 모델 시험 비교는 적절하게 근접하였다.



그림 7에서 보여주는 힘과 토크 진폭들은 1/14.8 크기 모델에 대한 것이며, 이들은 전체 크기 탱크에 대한 제동이 스케일 모델 탱크보다도 현저하게 다르므로 완전한 크기로 직접적으로 스케일링할 수 없다. 그러나  파라미터를 사용한 제동 계수를 포함한 모델 파라미터들은 스케일을 크게 할 수 있으며 완전 스케일 응답은 스케일을 크게 한 모델로부터 계산될 수 있다.
시험 데이터로부터 개발한 출렁거림 모델의 다른 예는 TDRS(Telemetering and Data Relay Satellite)에 관한 모델이다. 질량의 우주선 중심의 이동을 최소화하기 위해서 추진연료를 줄였으며 TDRS는 우주선 중심선 위에 있는 탱크의 배열 상부와 하부에서 이용한다. 각 탱크의 액체는 유연한 블레이드에 의해 그 장소에서 유지되며 이를 그림 8에 나타내었다.



블레이더들은 낮은 중력에서 탱크로부터 추진 연료를 소모하는 양의 기법을 제공한다. 추력 조건 동안에 대칭 배열보다도 더 적은 정적 퍼텐셜 에너지를 가지기 때문에 상부 탱크에 있는 액체 배열은 비대칭이 되며 중심선의 한 측면에 물방울이 대롱대롱 매달린 많은 액체 거품을 가진다.
블레이더에서 원래부터의 강성은 낮은 중력 동안에 대칭 배열에서 액체로 돌아오는데 충분하지 않으므로 이 탱크에 대한 기계적 모델은 비대칭적 배열에 대해서 개발되어야만 한다. 상부 탱크에서 출렁거림을 이해하기 위해서 예비 시험에서 많은 양이 필요하다.
블레이더가 탱크 축 부근의 출렁거림 파형에 집중될지라도 하부 탱크에서 출렁거림은 거의 일반적이다. 진자 모델은 진자의 힌지 점이 블레이더의 강성을 시뮬레이션하기 위하여 회전 스프링에 의해 탱크에 부착해야만 하는 것으로 가정한다. 이러한 종류의 모델을 위하여 진자 주파수는 식 (32)과 같이 정의한다.

(33)

여기서 은 진자의 길이, 는 출렁거림 질량, 은 블레이더의 유효 비틀림 스프링 강성이다. 두 개의 다른 밀도 액체를 가진 시험을 수행함에 의해 는 실제적으로 다른 액체 밀도에 비례하여 변화하고, 이에 따라 다른 출렁거림 자연 주파수들은 다른 액체에 대하여 측정된다. 의 두 개의 결정을 가지고 모델 파라미터 , , 들은 힘과 주파수 측정으로부터 결정될 수 있다.

상부에서 거꾸로 뒤집힌 탱크에서의 출렁거림은 기존 것과 완전하게 다르다. 만약 병진 여기가 그림 8의 평면에서 탱크의 긴 축에 따라 적용될 수 있다면 반대칭 파형은 그림 8에서 보여주는 하나와 같이 거의 액체 블레이더 인터페이스 위에 구성된다. 만약 병진 여기가 그림 8에서 보여주는 다른 탱크 평면의 정상적인 방향에 인가되었다면 다른 출렁거림 파형들은 그림 8에서 내부로 움직이는 경향이 있는 액체 물방울을 구성하게 된다. 만약 여기가 크다면 물방울은 탱크 주변을 회전하는 경향이 있다. 더욱이 만약 탱크가 오프-축 추력 방향으로 시뮬레이션하기 위해 기울여진다면 기울기가 임계 진폭인 20 °를 넘어설 때 전체 물방울은 새로운 위치로 떨어진다. 여기에서는 다른 모드와 안정도 고려가 존재하지만, 여기에서는 설명하지 않는다.
많은 실험 이후에 역도립 진자가 상부 탱크에서 출렁거림에 대해 수용 가능한 표현이 되었음을 마지막으로 결정된다. 이 모델을 그림 9에 개략적으로 보여준다.



이 진자의 평형 위치는 앞서 설명한 임계 기울기 각과 동일한 각도에서 수직으로부터 기울어져 있다. 이 진자 질량은 스프링과 제동 배열을 통하여 유도 표면 위에 남아있다. 이 스프링과 제동은 그림 8에서 보여준 탱크의 긴 축에서 여기 방향 병렬에 대하여 관측된 출렁거림을 시뮬레이션한 것이다. 이 진자 질량은 그림 8의 평면에서 수직으로 병진 여기에 대하여 관측한 출렁거림을 시뮬레이션하는 다른 스프링, 제동과 또한 연결되어 있다. 전체 배열은 유도 표면 위에 남아 있는 두 개의 슬라이더 블록과 부착돼 있다. 슬라이더와 유도 표면 사이의 정지 마찰은 여기가 몇몇 임계적 레벨을 초과할 때를 제외하고 탱크 부근의 회전으로부터 질량-스프링-제동 조합을 방지한다. 기계적 모델은 관측한 출렁거림과 안정도 특성을 매우 정밀하게 표현한다.

배영철 전남대학교 공과대학 전기공학과 교수(ycbae@chonnam.ac.kr)